Загрузка...Пару слов о Пифагоровых тройках
Пару слов о Пифагоровых тройках
— Книга рекордов Гиннеса называет теорему Пифагора теоремой с максимальным числом доказательств. И поясняет: в 1940 году была опубликована книга, которая содержала триста семьдесят доказательств теоремы Пифагора. Электроник – мальчик из чемоданчика в книге Евгения Велтистова знал целых двенадцать способов, среди них «метод укладки паркета» и «стул невесты». Кто-нибудь смотрел фильм приключения Электроника? Советую посмотреть…
Это замечательный фильм о дружбе и ссоре, о правде и лжи, о порядочности и преданности. А какое музыкальное сопровождение!
Теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен.
В этом с ней не может тягаться ни одна другая теорема. Всё это говорит о чрезвычайной важности этой теоремы для математики.
Для самого простого доказательства теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только прямоугольным, но и равнобедренным. Есть основания полагать, что именно такой треугольник первоначально рассматривали математики древности.
Посмотрите на равнобедренный прямоугольный треугольник ABC.
На гипотенузе АС можно построить квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных исходному треугольнику АВС.
А на катетах АВ и ВС построим по квадрату, каждый из которых содержит по два аналогичных треугольника.
То есть «квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах»
Кстати, этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме Пифагора. Самый знаменитый, пожалуй, это «Пифагоровы штаны во все стороны равны»:
Пару слов о Пифагоровых тройках
Этот вопрос мало или вообще не изучается в школьной программе. А между тем он является очень интересным и имеет большое значение в геометрии. Пифагоровы тройки применяются для решения многих математических задач. Представление о них может пригодиться вам в дальнейшем.
Так что же такое Пифагоровы тройки? Так называют натуральные числа, собранные по трое, сумма квадратов двух из которых равна третьему числу в квадрате.
Пифагоровы тройки могут быть:
· примитивными (все три числа – взаимно простые);
· не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).
Еще до нашей эры древних египтян завораживала мания чисел Пифагоровых троек: в задачах они рассматривали прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5 единиц. К слову, любой треугольник, стороны которого равны числам из пифагоровой тройки, по умолчанию является прямоугольным.
Примеры Пифагоровых троек: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.д.
Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в архитектуре и строительстве, астрономии и даже литературе.
С помощью теоремы можно вычислить длину стропила для двускатной крыши. Определить, какой высоты вышка мобильной связи нужна, чтобы сигнал достигал определенного населенного пункта. И даже устойчиво установить новогоднюю елку на городской площади. Как видите, эта теорема живёт не только на страницах учебников, но и часто бывает полезна в реальной жизни.
Что касается литературы, то теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:
….
И в заключении хочу добавить:
Пифагор жил в шестом веке до нашей эры, имел красивую внешность, длинную бороду, а на голове золотую диадему.
Пифагор- это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что говорил верно и убедительно, как греческий оракул.
Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые образовали свою школу- государство, где действовали законы и правила Пифагора.
Слово “ философ”, как и слово “ космос” достались нам от Пифагора. Он утверждал, что для понимания Бога, человека и природы надо изучить алгебру с геометрией, музыку и астрономию.
Кстати, треугольник- это “ключ” ко всем зашифрованным явлениям нашей жизни. Всё в природе разделено на три части.
“Узрите треугольник — и любая проблема на две трети решена ”.
Когда в задаче просят найти отрезок или угол, я ищу треугольник, в котором они расположены. И именно благодаря этому действию, я научился решать задачи по геометрии. Чего и вам желаю.
Теорема пифагора стул невесты
Пифагор и его «Теорема невесты»
Как хорошо, когда благоденствие человека
основано на законах разума.
Пифагор .
Ему повезло больше, чем другим ученым древности. О нем сохранились десятки легенд и мифов, правдивых и выдуманных, реальных и вымышленных.
С его именем связано многое в математике и в первую очередь, конечно, теорема, носящая его имя. Это теорема Пифагора. В настоящее время все согласны с тем, что эта теорема не была открыта Пифагором. Она была известна еще до него. Ее знали в Китае, Вавилонии, Египте. Вернее, не ее, а частные случаи. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, другие отказывают ему и в этой заслуге. Зато не найти, пожалуй, никакой другой теоремы, заслужившей столько всевозможных сравнений. Во Франции и некоторых областях Германии в средневековье теорему Пифагора почему-то называли "мостом ослов". У математиков арабского востока эта теорема получила название "теоремы невесты". Дело в том, что в некоторых списках "Начал" Евклида эта теорема называлась "теоремой нимфы" за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой, что по-гречески называлось нимфой. Но словом этим греки называли еще некоторых богинь, а также вообще молодых женщин и невест. При переводе с греческого арабский переводчик, не обратив внимания на чертеж, перевел слово "нимфа" как "невеста", а не "бабочка". Так появилось ласковое название знаменитой теоремы — "теорема невесты".
Рассказывают — это, конечно, лишь легенда,- что, когда Пифагор доказал свою знаменитую теорему, он отблагодарил богов, принеся им в жертву сто быков. Этот рассказ о жертвоприношении, сообщаемый Диогеном и Плутархом, скорее всего, вымышлен, ибо, как известно, Пифагор был вегетарианцем и непримиримым противником убоя и пролития крови животных.
О его подлинной жизни, к сожалению, известно немного. Родился он около 580 г . до н.э. на острове Самосе, расположенном у самых берегов Малой Азии. От путешественников и капитанов кораблей он узнавал о близких и далеких чудесных странах Египта и Вавилонии, мудрость жрецов которых изумляла молодого Пифагора и манила его.
Совсем юным покинул Пифагор родину. Сначала приплыл к берегам Египта, прошел его вдоль и поперек. Внимательно присматривался к окружающим, прислушивался к жрецам. В Египте, рассказывают, Пифагор попал в плен к Камбузу, персидскому завоевателю, и его увели в Вавилон.
Пифагор знал, что его величайший город мира. Но грандиозная панорама города, раскинувшего свои дворцы и высокие стены по обеим берегам Евфрата, привела Пифагора в восторг и изумление. Вавилон не шел в сравнение ни с одним греческим городом. Города Греции состояли из небольших домишек . Только в Акрополе находились высокие и красивые здания — храмы богов, сокровищницы и театры. Другое дело — Вавилон: широкие, прямые улицы, идущие перпендикулярно друг другу, трех-четырех этажные дома из светло-желтого кирпича, расположенные вдоль этих улиц.
Пифагор быстро осваивается со сложными Вавилонскими традициями. Он жадно впитывает речи халдейских жрецов. Сам составляет таблицы расположения звезд и небесных тел. Узнает о правилах решения некоторых уравнений, квадратных и даже кубических. Здесь, наверное он узнает, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. У халдейских магов изучает теорию чисел. И, может быть, отсюда пошла та числовая мистика приписывания числам божественной силы, которая Пифагором была преподнесена как философия.
После возвращения домой Пифагор попытался создать на родине свою школу (лучше сказать секту, общину), в основу которой положил аристократическую идеологию, резко противоречащую идеологии античной демократии, преобладавшей в то время на Самосе. Школа вызвала недовольство жителей острова, и Пифагору пришлось покинуть родину. Он переселяется в южную Италию — колонию Греции — и здесь, в Кротоне, вновь основывает школу — пифагорейский союз, просуществовавший больше двух веков.
Свою школу Пифагор создает как тайную организацию со строго ограниченным числом учеников из аристократии, и попасть в нее было не просто. Претендент должен был выдержать ряд испытаний; по утверждению некоторых историков, одним из таких испытаний является обет пятилетнего молчания, и все это время принятые в школу могли слушать голос учителя лишь из-за занавеса, а увидеть могли лишь тогда, когда их " души будут ичищены музыкой и тайной гармонией чисел".
В основу философии пифагорейского союза было положено мистическое учение о числе. Считалось, что "число есть лежащая в основе бытия причина стройности и порядка господствующей самородной связи вечного постоянства в мире. Число — это закон и связь мира, сила, царящая над смертными и даже над богами, условие всего определяющего, всего познаваемого. Вещи суть подражания числа".
Отсюда — мистика чисел и приписываемой им силы. Например, у пифагорейцев считалось чем-то в высшей степени замечательным , если число равнялось сумме своих собственных делителей. Например, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14. Они называли такие числа "совершенными".
Такую же достопримечательность представляют собой "дружественные" числа, как, например, 220 и 284, каждое из которых равно сумме делителей другого. Когда однажды Пифагора спросили, что такое друг, он сказал, что это "второе я, как числа 220 и 284".
Приписывание мистического значения числам сыграло в истории математики, конечно, только отрицательную роль. Но в то же время изучение свойств чисел в школе Пифагора положило начало новой науке — теории чисел.
Сейчас трудно сказать, какие научные идеи принадлежат Пифагору, какие его воспитанникам и последователям, так как в этой школе все приписывалось "самому". Осталось неизвестным, он ли открыл и доказал знаменитую теорему, носящую его имя, ему ли самому удалось впервые доказать теорему о сумме углов треугольника, также как построение многоугольника, равновеликого одному данному многоугольнику и подобного другому.
Пифагорейцы нашли первое в истории доказательство несоизмеримости диагонали квадрата и его высоты. Доказали, изумились и. испугались. Оказывается нет ни целых, ни рациональных чисел, квадрат которых равнялся бы, например, 2. Значит, существуют какие-то другие числа?! Это так противоречило их учению, в основе которого лежали лишь рациональные числа, что они решили (поклялись своим магическим числом 36!) засекретить свое открытие. Согласно преданию, Ученик Пифагора Гиппас Месопотамский, раскрывший эту тайну, был "наказан" богами и погиб во время кораблекрушения.
Несомненно, школа Пифагора сыграла большую роль в усовершенствовании научных методов разрешения математических проблем: в математику твердо вошло положение о необходимости строгих доказательств, что и придало ей значение особой науки.
Однако судьба самого Пифагора и его союза имела печальный конец, потому что идеология, лежавшая в основе деятельности союза, неуклонно вела его к гибели. Союз состоял главным образом из представителей аристократии, в чьих руках было сосредоточено управление городом Кротоном, и это оказывало большое влияние на политику. Между тем в Афинах и в большинстве греческих колоний вводилось демократическое управление, привлекавшее все большее число сторонников. Демократические движения стали преобладающими в Кротоне. Пифагор со своими сторонниками вынужден был бежать оттуда. Но это уже не спасло его. Будучи в городе Мерапонте, говорят, он, восьмидесятилетний старец, погиб в стычке со своими противниками. Не помог богатый опыт ведения кулачного боя и звание первого олимпийского чемпиона по этому виду спорта.
Теорема Пифагора | Энциклопедия знаний
Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Даже те, кто в своей жизни далек от математики, продолжают сохранять воспоминания о «пифагоровых штанах» — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора ясна: это простота — красота — значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна.
Противоречие двух начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение. Она применяется в геометрии буквально на каждом шагу. Существует около пятисот различных доказательств этой теоремы, что свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.
Исторические исследования датируют появление на свет Пифагора приблизительно 570 годом до нашей эры. Счастливый отец Мнесарх окружает мальчика заботами. Возможности дать сыну хорошее воспитание и образование у него были. Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Для упражнения памяти Гермодамас заставлял его учить песни из «Одиссеи» и «Илиады». Первый учитель прививал юному Пифагору любовь к природе и ее тайнам.
Пифагор – древнегреческий философ-идеалист, математик, основатель пифагореизма, политический, религиозный деятель. Его родиной был остров Самос (отсюда и прозвище — Самосский), где он появился на свет приблизительно в 570 г. до н. э. Его отцом был резчик по драгоценным камням. Согласно древним источникам, Пифагор с рождения отличался удивительной красотой; когда стал взрослым, носил длинную бороду и диадему из золота. Его одаренность также проявилась в раннем возрасте.
Обучение Пифагора
Прошло несколько лет, и по совету своего учителя Пифагор решает продолжить образование в Египте. При помощи учителя Пифагору удается покинуть остров Самос. Но пока до Египта далеко. Он живет на острове Лесбос у своего родственника Зоила. Там происходит знакомство Пифагора с философом Ферекидом — другом Фалеса Милетского. У Ферекида Пифагор учится астрологии, предсказанию затмений, тайнам чисел, медицине и другим обязательным для того времени наукам.
Затем в Милете он слушает лекции Фалеса и его более молодого коллеги и ученика Анаксимандра, выдающегося географа и астронома. Много важных знаний приобрел Пифагор за время своего пребывания в Милетской школе.
Перед Египтом он на некоторое время останавливается в Финикии, где, по преданию, учится у знаменитых сидонских жрецов. Учеба Пифагора в Египте способствует тому, что он сделался одним из самых образованных людей своего времени. Здесь же Пифагор попадает в персидский плен.
Согласно старинным легендам, в плену в Вавилоне Пифагор встречался с персидскими магами, приобщился к восточной астрологии и мистике, познакомился с учением халдейских мудрецов. Халдеи познакомили Пифагора со знаниями, накопленными восточными народами в течение многих веков: астрономией и астрологией, медициной и арифметикой.
Двенадцать лет пробыл в вавилонском плену Пифагор, пока его не освободил персидский царь Дарий Гистасп, прослышавший о знаменитом греке. Пифагору уже шестьдесят, он решает вернуться на родину, чтобы приобщить к накопленным знаниям свой народ. С тех пор как Пифагор покинул Грецию, там произошли большие изменения. Лучшие умы, спасаясь от персидского ига, перебрались в Южную Италию, которую тогда называли Великой Грецией, и основали там города-колонии Сиракузы, Агригент, Кротон. Здесь и задумывает Пифагор создать собственную философскую школу.
Школа Пифагора
Довольно быстро он завоевывает большую популярность среди жителей. Пифагор умело использует знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики.
Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую «пифагорейскую гамму» и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения он выразил на языке математики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи «гармонии мира» и «музыки сфер», впоследствии приведшие к революции в астрономии, впервые появились именно в Школе Пифагора.
Многое сделал ученый и в геометрии. Прокл так оценивал вклад греческого ученого в геометрию: «Пифагор преобразовал геометрию, придав ей форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения. Именно он нашел теорию иррациональных количеств и конструкцию космических тел».
В школе Пифагора геометрия впервые оформляется в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически — как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию. Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, и, прежде всего, в геометрию. Строго говоря, только с этого момента математика и начинает существовать как наука, а не как собрание древнеегипетских и древневавилонских практических рецептов. С рождением же математики зарождается и наука вообще, ибо «ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства» (Леонардо да Винчи).
Так вот, заслуга Пифагора и состояла в том, что он, по-видимому, первым пришел к следующей мысли: в геометрии, во-первых, должны рассматриваться абстрактные идеальные объекты, и, во-вторых, свойства этих идеальных объектов должны устанавливаться не с помощью измерений на конечном числе объектов, а с помощью рассуждений, справедливых для бесконечного числа объектов. Эта цепочка рассуждений, которая с помощью законов логики сводит неочевидные утверждения к известным или очевидным истинам, и есть математическое доказательство.
Теорема Пифагора
Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение 1 книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.
Михаил Ломоносов по этому поводу писал:
Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось.
Михаил Ломоносов
А.В.Волошинов в своей книге о Пифагоре отмечает:
Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось «И хотя сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета I (около 2000 года до нашей эры), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII веке до нашей эры), и в древнейшем китайском трактате „Чжоу-би суань цзинь“ („Математический трактат о гномоне“), время создания которого точно не известно, но где утверждается, что в XII веке до нашей эры китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI веку до нашей эры — и общий вид теоремы, и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII–V веках до нашей эры „Сульва сутра“ („Правила веревки“), — несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется. То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания.
Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Поэтому нам ничего не остается, как рассмотреть некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще и потому, что в современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и всегда красивым».
А.В.Волошинов
Теорема Пифагора гласит:
Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.
Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.
Математика в девяти книгах
Во II веке до нашей эры в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается создание древних книг. Так возникла «Математика в девяти книгах» — главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений. В IX книге «Математики» помещен чертеж, доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами и гипотенузой. С уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной А+В, а внутренний — квадрат со стороной С, построенный на гипотенузе. Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника, то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна С в квадрате, а с другой — А+В, т. е. С=А+В. Теорема доказана.
Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сид-дханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII века в Бхаскары помещен чертеж с характерным для индийских доказательств словом «смотри!». Прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат С перекладывается в «кресло невесты» квадрат А плюс квадрат В. Частные случаи теоремы Пифагора встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII–V веках до нашей эры).
Доказательство Евклида приведено в предложении 1 книги «Начал». Здесь для доказательства на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника строятся соответствующие квадраты.
«Багдадский математик и астроном X века ан-Найризий (латинизированное имя — Аннариций), — пишет Волошинов, — в арабском комментарии к „Началам“ Евклида дал следующее доказательство теоремы Пифагора. Квадрат на гипотенузе разбит у Аннариция на пять частей, из которых составляются квадраты на катетах. Конечно, равенство всех соответствующих частей требует доказательства, но мы его за очевидностью оставляем читателю. Любопытно, что доказательство Аннариция является простейшим среди огромного числа доказательств теоремы Пифагора методом разбиения: в нем фигурирует всего 5 частей (или 7 треугольников). Это наименьшее число возможных разбиений».
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов (рис. 1):
Доказательство теоремы Пифагора
Пусть треугольник $A B C$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $C$ (рис. 2).
Проведём высоту из вершины $C$ на гипотенузу $A B$, основание высоты обозначим как $H$ .
Прямоугольный треугольник $A C H$ подобен треугольнику $A B C$ по двум углам ( $angle A C B=angle C H A=90^
из подобия треугольников получаем, что
Отсюда имеем, что
$$a^<2>=c cdot H B, b^<2>=c cdot A H$$
Сложив полученные равенства, получаем
$$a^<2>+b^<2>=c cdot H B+c cdot A H$$
Что и требовалось доказать.
Геометрическая формулировка теоремы Пифагора
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах (рис. 2):
Примеры решения задач
Задание. Задан прямоугольный треугольник $A B C$, катеты которого равны 6 см и 8 см. Найти гипотенузу этого треугольника.
Решение. Согласно условию катеты $a=6$ см, $b=8$ см. Тогда, согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы
Отсюда получаем, что искомая гипотенуза
Ответ. 10 см
Теорема Пифагора не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Задание. Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что один из его катетов на 5 см больше другого, а гипотенуза равна 25 см.
Решение. Пусть $x$ см — длина меньшего катета, тогда $(x+5)$ см — длина большего. Тогда согласно теореме Пифагора имеем:
Раскрываем скобки, сводим подобные и решаем полученное квадратное уравнение:
Согласно теореме Виета, получаем, что
Значение $x_<2>$ не удовлетворяет условию задачи, а значит, меньший катет равен 15 см, а больший — 20 см.
Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению длин его катетов, то есть
Ответ. $S=150left(mathrm<см>^<2>right)$
Историческая справка
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
В древнекитайской книге «Чжоу би суань цзин» говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. Крупнейший немецкий историк математики Мориц Кантор (1829 — 1920) считает, что равенство $3^<2>+4^<2>=5^<2>$ было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н.э. По мнению ученого, строители строили тогда прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника.
На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Согласно теореме Пифагора, значение длины гипотенузы (с) треугольника с прямыми углами, возведенное в квадратную степень, является величиной, равной сумме его катетов (а и b), каждый из которых также возведен в квадрат. Наглядно и с применением условных обозначений это выглядит так:
В теореме Пифагора говорится о том, что в треугольнике с прямыми углами сумма длин катетов, каждая из которых возведена в квадрат, равна длине его гипотенузы, также возведенной в квадратную степень.
При этом под гипотенузой понимается сторона, которая расположена противоположно прямому углу. Катетом считается одна из сторон, участвующих в образовании прямого угла.
Основание прямоугольного треугольника обозначим как Н. Из его вершины С проведем высоту на гипотенузу АВ. Получившийся в результате этого треугольник АСН является подобным треугольнику АВС по двум углам, равным 90º (∠ACB =∠CHA).
В обоих треугольниках есть один общий угол — ∠A.
Подобными также являются треугольные фигуры АВС и СВН. Основанием их подобия являются прямые углы (∠ACB =∠CHB). Оба эти треугольника имеют общий угол, которым является ∠B.
Для продолжения доказательства теоремы Пифагора следует ввести дополнительные обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
На основании полученной ранее информации о подобии треугольников можно утверждать, что:
a/с = HB/a, b/с = AH/b.
Полученное равенство также позволяет сделать следующий вывод:
a2 = c * HB, b2 = c * AH.
На следующем этапе произведем сложение полученных ранее равенств:
a2 + b2 = c * HB + c * AH
Вынесем за скобки общий множитель во второй части равенства:
a2 + b2 = c * (HB + AH)
Теперь можно сократить Н в левой части равенства, в результате получим:
В приведенных выше обозначениях указано, что АВ = с. Это позволяет переписать равенство следующим образом:
a2 + b2 = c * c, или a2 + b2 = c2
Таким образом, теорема Пифагора доказана.
Согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы прямоугольного треугольника, которая возведена в квадрат, равна сумме, полученной в результате сложения квадратов длин его катетов. Из этого следует, что:
Извлечем квадрат из обеих частей равенства, в итоге получим:
x = √(5² + 5²)= √(25+25) = √50 = √25*2 = 5√2
Ответ: длина гипотенузы прямоугольного треугольника, катет которого равен 5 см, составляет 5√2, что равно примерно 7,07 см.
Теорема Пифагора не может быть применима к треугольнику с тупыми или острыми углами. Она выполняется только в случае прямоугольного треугольника.
Для треугольника с углом 90º справедливо утверждение о том, что длина его гипотенузы, возведенная во вторую степень, равна сумме длин его катетов, взятых в квадрат.
В теореме Пифагора говорится о том, что сумма длин катетов прямоугольного треугольника, возведенных во вторую степень, равна квадрату длины его гипотенузы. В случае с треугольником, некоторые параметры которого приведены в задании, это утверждение выглядит следующим образом:
х² = 7²-6² = 49-36 = 13.
Для того чтобы найти значение х, нужно извлечь квадратный корень из числа 13:
Ответ: Длина второго катета прямоугольного треугольника равна корню квадратному из 13.
Для решения поставленной задачи следует воспользоваться теоремой Пифагора, которая говорит о том, что сумма длин катетов треугольника с прямым углом, возведенных в квадрат, равна длине его гипотенузы, также возведенной во вторую степень:
Теорема Пифагора может быть применима в данном случае по причине того, что образованная между двумя домами конструкция является прямоугольным треугольником. Зная о том, что сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике равна длине его катета, возведенной в квадрат, можно вычислить длину неизвестного катета:
24 м – 16 м = 8 м.
Длина одного катета треугольника равна 16 м, второго – 8 м. Зная это, можно применить теорему Пифагора для вычисления длины гипотенузы:
(16*16) + (8*8) = 256 + 64 = 320 м.
Осталось только извлечь квадратный корень из 320, для того чтобы узнать длину расстояния между крышами двух домов.
Ответ: Расстояние между крышами домов равно корню квадратному из 320.
Обозначим длину неизвестного катета как х. Зная то, что по теореме Пифагора длина гипотенузы прямоугольного треугольника, возведенная во вторую степень, равна сумме длин его катетов, которые также возведены в квадрат, можно выразить длину неизвестного катета следующим образом:
х² = 132 – 122 = 169 – 144 = 25
Теперь, для того чтобы узнать длину второго катета, необходимо извлечь квадратный корень из числа 25:
Ответ: длина второго катета прямоугольного треугольника равна 5 см.
Известно, что длина медианы (m), которая проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна ½ ее длины. Используя это, можно высчитать длину гипотенузы прямоугольного треугольника:
с = 2*m = 2*6,5 = 13 см.
Высчитав длину гипотенузы и зная длину одного из катетов прямоугольного треугольника, можно вычислить, чему равен его второй катет. Для этого можно использовать теорему Пифагора, согласно которой:
Выражаем из записанного выше равенства длину неизвестного катета:
Из полученного числа нужно извлечь квадратный корень, для того чтобы узнать длину второго катета прямоугольного треугольника:
Ответ: Длина второго катета прямоугольного треугольника равна 12 см.
Равенство, указанное в задании, применимо к треугольнику с прямым углом, как гласит теорема Пифагора.
Каждая из сторон треугольника может быть обозначена прописной буквой, которая соответствует строчной букве, обозначающей угол треугольника, расположенный противоположно этой стороне. На основании этого можно сделать вывод о том, что искомый треугольник является прямоугольным и имеет гипотенузу f и катеты a и b:
Ответ: имеется треугольник АDF с прямым углом F.
Теорема, которая является обратной теореме Пифагора, существует. Согласно этой теореме, треугольник считается прямоугольным в том случае, если длина его большей стороны, возведенная в квадратную степень, равна сумме длин двух других его сторон, которые также возведены в квадратную степень.
Для начала следует провести высоту (h) к основанию равнобедренного треугольника. Данная высота, проведенная к основанию, в случае с равнобедренным треугольником является медианой.
Теперь можно высчитать длину высоты, используя теорему Пифагора. Она будет равна:
h = √((48 см)² — (25,5 см)²) = 10,5√15 см.
Площадь (S) треугольника рассчитывается путем деления на число, полученное в результате умножения длины высоты на длину основания треугольника:
S = ½*10,5√15 см*51 см = 267,75√15 см².
Ответ: Площадь треугольника равна 267,75√15 см².
В равностороннем треугольнике высота (h), проведенная к его основанию, является также его биссектрисой и медианой. Она делит равносторонний треугольник на две части, которые являются равными треугольниками с прямым углом. Их гипотенуза равна а, а катеты – а/2. Для ответа на поставленный вопрос следует применить теорему Пифагора:
Обозначим меньший из катетов как х. Тогда другой катет, длина которого в два раза больше, будет обозначен как 2х. Если в случае с прямоугольным треугольником, длина гипотенузы которого равна √15, применить теорему Пифагора, то она будет выглядеть следующим образом:
После раскрытия скобок в уравнении получаем следующее равенство:
Складываем слагаемые в первой части и получаем:
Сокращаем обе части уравнения на 5, и в итоге получается, что:
Ответ: Длина меньшего из катетов треугольника равна √3, а большего – 2√3.
Если обозначить длину неизвестного катета через х, то гипотенуза будет равна 180-х. Используя введенные обозначения, запишем теорему Пифагора для данного треугольника:
После сокращений получается следующее равенство:
Теперь можно найти значение х:
Длина второго катета равна 80 см.
Зная, что катет в 80 см и неизвестная длина гипотенузы в сумме дают 180 см, можно вычислить длину гипотенузы:
Ответ: Длина гипотенузы равна 100 см.
АВСD является прямоугольной трапецией, у которой AB=9 см и CD=18 см. Диагональ АС данной трапеции составляет 15 см. При этом ВС и AD остаются неизвестными величинами. Длину ВС можно вычислить по следующей формуле:
